\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{vietnam}
\usepackage{array}
\usepackage[unicode]{hyperref}
\usepackage{amsmath,amsxtra,amssymb,latexsym, amscd,amsthm}
\usepackage[top=1cm,bottom=1.5cm,left=1.5cm,right=1.5cm]{geometry}
\usepackage{array}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.15}
\usepackage{mathrsfs}
\usetikzlibrary{arrows}
\usepackage{longtable}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}% Lệnh không đánh số trang
\begin{tabular}{p{6.5cm} p{11.5cm}}
\begin{center}
 \textbf{{SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO}}\\
 \textbf{TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC}
 \end{center} & \begin{center}
 \textbf{{\small ĐỀ THI HSG CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN \\
 KHU VỰC DH\&ĐBBB NĂM 2023}}
 \end{center}\\ 
\vspace{-1.4cm}
\begin{center}
\rule{4cm}{1.5pt}
 \end{center} & 
\begin{center}
\vspace{-2cm}
\textbf{ĐỀ THI MÔN: TOÁN LỚP 11 \\
\textit{{\small Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề}}}\\
\textbf{Đề thi gồm 01 trang}
\end{center} \\ 
\vspace{-2cm}
\begin{center}
 \textbf{\fbox {ĐỀ ĐỀ XUẤT}}
 \end{center} & 
\end{tabular} 
\textbf{Câu 1 (4,0 điểm)}\\
Cho dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ được xác định như sau: $a_1=0, a_{n + 1}^3 + 8 = a_n^2,\,\,n = 1,2,...$\\
Xét hai dãy số $\left( {{b_n}} \right),\,\,\left( {{c_n}} \right)$ được xác định như sau: $${b_n} = \frac{{{a_1}}}{{{1^2}}} + \frac{{{a_2}}}{{{2^2}}} + ... + \frac{{{a_n}}}{{{n^2}}},\,\,{c_n} = \left| {{a_1} - {a_2}} \right| + \left| {{a_2} - {a_3}} \right| + ... + \left| {{a_n} - {a_{n + 1}}} \right|, \forall n \in \mathbb{N}^*.$$
a) Chứng minh rằng dãy số $\left( {{b_n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn.\\
b) Chứng minh rằng dãy số $\left( {{c_n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn.\\
\\
\textbf{Câu 2 (4,0 điểm)}\\
Xét các hàm  $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ và $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f(x^2-g(y))=g(x)^2-y$ với mọi $x, y \in \mathbb{R}$.\\
a) Chứng minh rằng nếu $\left\{ {\left. {g\left( x \right)} \right|x \in \mathbb{R}} \right\}$ không bị chặn thì $f$ và $g$ là một song ánh.\\
b) Tìm tất cả các hàm $f$ và $g$ thỏa mãn điều kiện bài toán.\\
\\
\textbf{Câu 3 (4,0 điểm)}\\
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, $AB<AC$ và nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $AH$. Đường thẳng qua $K$ vuông góc với $OK$ cắt các đường thẳng $AB$ và $AC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Các đường thẳng $BK$ và $CK$ cắt lại đường tròn $\left( O \right)$ lần lượt tại $X$ và $Y$.\\
a) Chứng minh rằng $KE=KF$.\\
b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác $KEY$ và $KFX$ cắt nhau tại điểm $Z\left( {Z \ne K} \right)$ thuộc đường tròn $\left( O \right)$.\\
\\
\textbf{Câu 4 (4,0 điểm)}\\ 
Xét số nguyên dương $n>1$, kí hiệu $\sigma \left( n \right),\,\,d\left( n \right)$ lần lượt là tổng tất cả các ước nguyên dương của $n$, số ước nguyên dương của $n$.\\
a) Chứng minh rằng $\sigma \left( n \right) \ge n + 1 - \left( {d\left( n \right) - 2} \right)\sqrt n .$\\
b) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $\sigma \left( n \right) = d\left( n \right)\left\lceil {\sqrt n } \right\rceil$, trong đó kí hiệu $\left\lceil {\sqrt n } \right\rceil$ là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn $\sqrt{n}.$\\
\\
\textbf{Câu 5 (4,0 điểm)}\\
Cho $m, n$ là hai số nguyên dương. Mỗi số nguyên $1,2,3,...,m$ được tô bởi một trong $n$ màu sao cho hai số phân biệt có tổng chia hết cho $4$ được tô bằng màu khác nhau.\\
a) Chứng minh rằng nếu $m=2006$ thì $n\geq 502$.\\
b) Giả sử $m=2023$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của $n$.\\ 
\\
\begin{center} --------------\text{ \textbf{HẾT} }-------------- \end{center}
\begin{center}
\textit{\textbf{Thí sinh không được sử dụng tài liệu.\\ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.}}\\
\end{center}
\parbox{0.6\textwidth}{\textit{Họ và tên thí sinh}: .\dotfill.} ; \parbox{0.4\textwidth}{\textit{Số báo danh}: .\dotfill.}
\newpage
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\textbf{SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO}&\textbf{{ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG }}\\
& \textbf{CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN}\\
\textbf{{ TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC}} & \textbf{KHU VỰC DH\&ĐBBB NĂM 2023} \\ 
\textbf{\fbox {ĐÁP ÁN ĐỀ XUẤT}}& \textbf{MÔN: TOÁN LỚP 11}\\
& \textbf{HDC gồm 05 trang}
\end{tabular}
\end{center}
\textit{- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải. Nếu thí sinh có cách giải khác và đúng thì giám khảo cho điểm theo thang điểm của hướng dẫn chấm.\\
- Trong một bài, thí sinh giải đúng đến đâu cho điểm đến đó.\\
- Câu 3 nếu không vẽ hình thì không cho điểm, nếu vẽ hình sai phần nào thì không cho điểm ứng với phần vẽ hình sai đó.\\
- Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn.}\\
\textbf{Câu 1 (4,0 điểm)}\\
Cho dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ được xác định như sau: $a_1=0, a_{n + 1}^3 + 8 = a_n^2,\,\,n = 1,2,...$\\
Xét hai dãy số $\left( {{b_n}} \right),\,\,\left( {{c_n}} \right)$ được xác định như sau: $${b_n} = \frac{{{a_1}}}{{{1^2}}} + \frac{{{a_2}}}{{{2^2}}} + ... + \frac{{{a_n}}}{{{n^2}}},\,\,{c_n} = \left| {{a_1} - {a_2}} \right| + \left| {{a_2} - {a_3}} \right| + ... + \left| {{a_n} - {a_{n + 1}}} \right|, \forall n \in \mathbb{N}^*.$$
a) Chứng minh rằng dãy số $\left( {{b_n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn.\\
b) Chứng minh rằng dãy số $\left( {{c_n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn.
\begin{longtable}{|p{16cm} |p{1.5cm}|}
\hline 
\textbf{Nội dung} & \textbf{Điểm}\\ 
\hline
\vspace{0.3cm}

\textbf{Câu 1a (2,0 điểm).} Chứng minh rằng dãy số $\left( {{b_n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn. & \begin{center}
2,0\end{center}\\
\hline
\vspace{0.3cm}

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo $n: {a_n} \in \left[ { - 2;0} \right]  , \forall n\in \mathbb{N}^* (1)$. Thật vậy, với $n=1$ ta được $a_1^3 + 8 = a_0^2 \Leftrightarrow {a_1} =  - 2 \in \left[ { - 2;0} \right] \Rightarrow n = 1$ đúng. Giả sử $(1)$ đúng với $n=1,2,...,k$, ta chứng minh $(1)$ cũng đúng với $n=k+1$ hay chứng minh ${a_{k + 1}} \in \left[ { - 2;0} \right].$  & \begin{center}
0,5\end{center} \\ 
\hline 
\vspace{0.3cm}

Thật vậy, ta có ${a_{k + 1}} = \sqrt[3]{{a_k^2 - 8}}$, kết hợp với ${a_k} \in \left[ { - 2;0} \right] \Rightarrow 0 \le a_k^2 \le 4 \Rightarrow  - 2 = \sqrt[3]{{ - 8}} \le \sqrt[3]{{a_k^2 - 8}} \le \sqrt[3]{{4 - 8}} =  - \sqrt[3]{4} \Rightarrow  - 2 \le {a_{k + 1}} \le  - \sqrt[3]{4} \Rightarrow {a_{k + 1}} \in \left[ { - 2;0} \right]$ suy ra $(1)$ đúng với $n=k+1\Rightarrow (1)$ được chứng minh.& \begin{center}0,5\end{center} \\ 
\hline
\vspace{0.3cm}

Ta có ${b_{n + 1}} = {b_n} + \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} \le {b_n}\le b_n \Rightarrow \left( {{b_n}} \right)$ là dãy số giảm, kết hợp với $\frac{{{a_1}}}{{{1^2}}} + \frac{{{a_2}}}{{{2^2}}} + ... + \frac{{{a_n}}}{{{n^2}}} \ge  - 2\left( {\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) >  - 2\left( {1 + \frac{1}{{1 \cdot 2}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n - 1} \right)}}} \right) >  - 4 \Rightarrow {b_n} >  - 4,\,\,\forall n \in \mathbb{N}^*$ suy ra dãy số $\left( {{b_n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn. $\square$& \begin{center}
1,0\end{center} \\ 
\hline 
\vspace{0.2cm}

\textbf{Câu 1b (2,0 điểm).} Chứng minh rằng dãy số $\left( {{c_n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn. & \begin{center}
2,0\end{center}\\
\hline
\vspace{0.2cm}

Đặt $f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^2} - 8}},\,\,x \in \left[ { - 2;0} \right] \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2x}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} - 8} \right)}^2}}}}} \Rightarrow f''\left( x \right) = \frac{2}{9} \cdot \frac{{ - {x^2} - 24}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} - 8} \right)}^5}}}}} > 0,\,\,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)$&\begin{center}0,5\end{center}\\
\hline
\vspace{0.2cm}

$\Rightarrow f'\left( { - 2} \right) \le f'\left( x \right) \le f'\left( 0 \right) \Rightarrow  - \frac{2}{{3\sqrt[3]{2}}} \le f'\left( x \right) \le 0,\,\,\forall x \in \left[ { - 2;0} \right].$ &\begin{center}
0,5
\end{center}\\
\hline
\vspace{0.2cm}

Ta có $\left| {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right| = \left| {f\left( {{a_n}} \right) - f\left( {{a_{n - 1}}} \right)} \right| = \left| {f'\left( c \right)\left( {{a_n} - {a_{n - 1}}} \right)} \right| \le \frac{2}{{3\sqrt[3]{2}}}\left| {{a_n} - {a_{n - 1}}} \right|,\,\,\forall n = 2,3,... \Rightarrow \left| {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right| \le \frac{2}{{3\sqrt[3]{2}}}\left| {{a_n} - {a_{n - 1}}} \right| = q\left| {{a_n} - {a_{n - 1}}} \right| \le {q^2}\left| {{a_{n - 1}} - {a_{n - 2}}} \right| \le ... \le {q^{n - 1}}\left| {{a_2} - {a_1}} \right| \Rightarrow$& \begin{center}
0,5
\end{center}\\
\hline
\vspace{0.2cm}

${c_n} \le \left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}}} \right)\left| {{a_2} - {a_1}} \right| = \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\left| {{a_2} - {a_1}} \right| < \frac{1}{{1 - q}}\left| {{a_2} - {a_1}} \right|,\,\,\forall n = 1,2,...$, kết hợp với dãy số ${c_{n + 1}} \ge {c_n},\,\,\,\forall n = 1,2,... \Rightarrow \left( {{c_n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn. $\square$&\begin{center}
0,5
\end{center}\\
\hline

\end{longtable}

\textbf{Câu 2 (4,0 điểm)}\newline
Xét các hàm  $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ và $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f(x^2-g(y))=g(x)^2-y$ với mọi $x, y \in \mathbb{R}$.\\
a) Chứng minh rằng nếu $\left\{ {\left. {g\left( x \right)} \right|x \in \mathbb{R}} \right\}$ không bị chặn thì $f$ và $g$ là một song ánh.\\
b) Tìm tất cả các hàm $f$ và $g$ thỏa mãn điều kiện bài toán.
\begin{longtable}{|p{16cm} |p{1.5cm}|}
\hline 
\textbf{Nội dung} & \textbf{Điểm}\\
\hline 
\vspace{0cm}

\textbf{Câu 2a.} a) Chứng minh rằng nếu $\left\{ {\left. {g\left( x \right)} \right|x \in \mathbb{R}} \right\}$ không bị chặn thì $f$ và $g$ là một song ánh.& \begin{center}
1,0
\end{center} \\ 
\hline 
\vspace{0.2cm}

Kí hiệu $P\left( {x,y} \right)$ là phép thế biến vào phương trình hàm đã cho, ta lần lượt xét các phép thế sau\newline
$P\left( {0,y} \right) \Rightarrow f\left( { - g\left( y \right)} \right) = g{\left( 0 \right)^2} - y,\,\,\forall y \in \mathbb{R}$, từ đẳng thức này suy ra $f$, $g$ lần lượt là toàn anh, đơn ánh. Xét phép thế $P\left( { - x,y} \right) \Rightarrow f\left( {{x^2} - g\left( y \right)} \right) = {\left( {g\left( { - x} \right)} \right)^2} - y = {\left( {g\left( x \right)} \right)^2} - y \Rightarrow g\left( { - x} \right) =  - g\left( x \right),\,\,\forall x \ne 0$.& \begin{center}
0,5
\end{center} \\ 
\hline 
\vspace{0.2cm}

Giả sử $a, b\in \mathbb{R}$ sao cho $f\left( a \right) = f\left( b \right)$, chọn $y$ sao cho $g\left( y \right) + a > 0,\,\,g\left( y \right) + b \Rightarrow \exists {x_1} > 0,\,\,{x_2} > 0:x_1^2 - g\left( y \right) = a,\,x_2^2 - g\left( y \right) = b$ và xét các phép thế $P\left( {{x_1},y} \right),\,\,P\left( {{x_2},y} \right)$ ta được \newline
$g{\left( {{x_1}} \right)^2} - y = g{\left( {{x_2}} \right)^2} - y \Rightarrow g\left( {{x_1}} \right) =  \pm g\left( {{x_2}} \right)$, kết hợp với $g$ là hàm số lẻ và $x_1, x_2>0 \Rightarrow x_1=x_2 \Rightarrow a=b \Rightarrow f$ là đơn ánh, kết hợp với $f$ là toàn ánh suy ra $f$ là song ánh.\newline
Xét phép thế $P\left( {0,y} \right) \Rightarrow f\left( { - g\left( y \right)} \right) = g{\left( 0 \right)^2} - y,\,\,\forall y \in \mathbb{R}$. Với mọi $z\in \mathbb{R}\Rightarrow$ tồn tại $y\in \mathbb{R}$ sao cho $f\left( { - z} \right) = g{\left( 0 \right)^2} - y \Rightarrow f\left( { - g\left( y \right)} \right) = f\left( { - z} \right) \Rightarrow g\left( y \right) = z \Rightarrow g$ là toàn ánh, kết hợp với $g$ là đơn ánh suy ra $g$ là song ánh. {$\square$}& \begin{center}
0,5
\end{center} \\ 
\hline 

\vspace*{0.1cm}

\textbf{Câu 2b.} Tìm tất cả các hàm $f$ và $g$ thỏa mãn điều kiện bài toán.&\begin{center}
3,0
\end{center}\\
\hline
\vspace{0.2cm}

Trước hết ta chứng minh $\left\{ {\left. {g\left( x \right)} \right|x \in \mathbb{R}} \right\}$ không bị chặn. Thật vậy, giả $\left\{ {\left. {g\left( x \right)} \right|x \in \mathbb{R}} \right\}$ bị chặn, tức là tồn tại số thực dương $M$ sao cho $\left| {g\left( x \right)} \right| \le M,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$. Với mọi $y_1, y_2 \in \mathbb{R}, y_1-y_2>2M^2$, tồn tại các số thực $x_1, x_2$ sao cho $x_1^2 - g\left( {{y_1}} \right) = x_2^2 - g\left( {{y_2}} \right) \Rightarrow g{\left( {{x_1}} \right)^2} - {y_1} = g{\left( {{x_2}} \right)^2} - {y_2} \Rightarrow {y_1} - {y_2} = g{\left( {{x_1}} \right)^2} - g{\left( {{x_2}} \right)^2} > 2{M^2}$  vô lí vì $g{\left( {{x_1}} \right)^2} - g{\left( {{x_2}} \right)^2} \le {M^2}$. Do đó $\left\{ {\left. {g\left( x \right)} \right|x \in \mathbb{R}} \right\}$ không bị chặn.& \begin{center}
1,0
\end{center}\\
\hline
Do $g$ là toàn ánh nên tồn tại số thực $a$ sao cho $g\left( a \right) = 0$, kết hợp với phép thế $P\left( { - a,y} \right)$ cũng suy ra $g\left( { - a} \right) = 0 \Rightarrow g\left( { - a} \right) = g\left( a \right) \Rightarrow a = 0$. Tương tự ta có $f\left( 0 \right) = 0$.&\begin{center}
0,5
\end{center}\\
\hline
$f\left( { - g\left( y \right)} \right) = g{\left( 0 \right)^2} - y \Rightarrow f\left( {g\left( { - y} \right)} \right) =  - y \Rightarrow f\left( {g\left( y \right)} \right) = y,\,\,\forall y \in \mathbb{R}$.\newline
Cho $y=0$ vào phương trình ban đầu ta được $f\left( {{x^2}} \right) = g{\left( x \right)^2},\,\,\forall x \in \mathbb{R}$ \newline
Từ hai đẳng thức trên cùng với phép thế $P\left( {x,f\left( y \right)} \right)$ ta được $f\left( {{x^2} - g\left( {f\left( y \right)} \right)} \right) = f\left( {{x^2}} \right) - f\left( y \right) \Rightarrow f\left( {{x^2} - y} \right) = f\left( {{x^2}} \right) - f\left( y \right),\,\,\forall x,y \in \mathbb{R}$. Từ đẳng thức này suy ra $f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right),\,\,\forall x,y \in \mathbb{R}$.& \begin{center}
1,0
\end{center}\\
\hline
Do $f\left( {{x^2}} \right) = g{\left( x \right)^2}\geq 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\Rightarrow$ theo kết quả của phương trình hàm Cauchy ta được $f\left( x \right) = kx,$ trong đó $k$ là hằng số thực. Cũng từ đẳng thức trên, kết hợp với $g$ là hàm số lẻ và đơn ánh ta được $g\left( x \right) = cx$. Thử lại ta được $f\left( x \right) = x,\,\,g\left( x \right) = x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$. $\square$& \begin{center}
0,5
\end{center}\\
\hline
\end{longtable}
\textbf{Câu 3 (4,0 điểm)}\\
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, $AB<AC$ và nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $AH$. Đường thẳng qua $K$ vuông góc với $OK$ cắt các đường thẳng $AB$ và $AC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Các đường thẳng $BK$ và $CK$ cắt lại đường tròn $\left( O \right)$ lần lượt tại $X$ và $Y$.\\
a) Chứng minh rằng $KE=KF$.\\
b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác $KEY$ và $KFX$ cắt nhau tại điểm $Z\left( {Z \ne K} \right)$ thuộc đường tròn $\left( O \right)$.
\begin{longtable}{|p{16cm} |p{1.5cm}|}
\hline 
\textbf{Nội dung} & \textbf{Điểm}\\ 
\hline 
\vspace{0.3cm}

\textbf{Câu 3a.} Chứng minh rằng $KE=KF$.\newline 
\definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}
\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1}
\definecolor{ududff}{rgb}{0.30196078431372547,0.30196078431372547,1}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
\clip(-11.56,-6.97) rectangle (11.6,6.89);
\draw [line width=2pt] (-2.02,-0.09) circle (3.5338930374305337cm);
\draw [line width=2pt] (-4.115646066842455,2.7554643843365447)-- (-5.148493928375334,-1.7334493421212205);
\draw [line width=2pt] (-5.148493928375334,-1.7334493421212205)-- (1.1245197364180344,-1.7025742238041197);
\draw [line width=2pt] (1.1245197364180344,-1.7025742238041197)-- (-4.115646066842455,2.7554643843365447);
\draw [line width=2pt] (-4.093577657556878,-1.7282571543759662)-- (-4.115646066842455,2.7554643843365447);
\draw [line width=2pt] (-4.826346518721296,-0.33334775601478395)-- (1.1245197364180344,-1.7025742238041197);
\draw [line width=2pt] (-5.148493928375334,-1.7334493421212205)-- (-2.4993772298042245,1.3804336797417072);
\draw [line width=2pt] (-4.107633162821105,1.1274526013738742)-- (-2.02,-0.09);
\draw [line width=2pt] (-4.739555006498616,0.04386134231088329)-- (-3.4757113191435938,2.2110438604368614);
\draw [line width=2pt] (-4.115646066842455,2.7554643843365447)-- (0.075646066842455,-2.9354643843365444);
\draw [line width=2pt] (-4.099620258799755,-0.5005591815887962)-- (0.075646066842455,-2.9354643843365444);
\draw [line width=2pt] (-5.148493928375334,-1.7334493421212205)-- (0.075646066842455,-2.9354643843365444);
\draw [line width=2pt] (0.075646066842455,-2.9354643843365444)-- (1.1245197364180344,-1.7025742238041197);
\draw [line width=2pt] (-5.148493928375334,-1.7334493421212205)-- (-5.363463946154778,-2.6677416997147745);
\draw [line width=2pt] (-5.363463946154778,-2.6677416997147745)-- (-2.8357765714447334,1.6666233365371792);
\draw [line width=2pt] (-5.363463946154778,-2.6677416997147745)-- (0.075646066842455,-2.9354643843365444);
\draw [line width=2pt] (0.075646066842455,-2.9354643843365444)-- (-2.8357765714447334,1.6666233365371792);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=ududff] (-2.02,-0.09) circle (2.5pt);
\draw[color=ududff] (-2.3,-0.28) node {$O$};
\draw [fill=xdxdff] (-4.115646066842455,2.7554643843365447) circle (2.5pt);
\draw[color=xdxdff] (-4.18,3.2) node {$A$};
\draw [fill=xdxdff] (-5.148493928375334,-1.7334493421212205) circle (2.5pt);
\draw[color=xdxdff] (-5.42,-1.78) node {$B$};
\draw [fill=xdxdff] (1.1245197364180344,-1.7025742238041197) circle (2.5pt);
\draw[color=xdxdff] (1.42,-1.7) node {$C$};
\draw [fill=uuuuuu] (-4.099620258799755,-0.5005591815887962) circle (2pt);
\draw[color=uuuuuu] (-3.92,-0.8) node {$H$};
\draw [fill=uuuuuu] (-4.093577657556878,-1.7282571543759662) circle (2pt);
\draw [fill=uuuuuu] (-4.826346518721296,-0.33334775601478395) circle (2pt);
\draw [fill=uuuuuu] (-4.107633162821105,1.1274526013738742) circle (2pt);
\draw[color=uuuuuu] (-3.76,1.34) node {$K$};
\draw [fill=uuuuuu] (-2.4993772298042245,1.380433679741707) circle (2pt);
\draw [fill=uuuuuu] (-3.4757113191435938,2.2110438604368614) circle (2pt);
\draw[color=uuuuuu] (-3.16,2.46) node {$F$};
\draw [fill=uuuuuu] (-4.739555006498616,0.04386134231088329) circle (2pt);
\draw[color=uuuuuu] (-4.98,0.36) node {$E$};
\draw [fill=uuuuuu] (0.075646066842455,-2.9354643843365444) circle (2pt);
\draw[color=uuuuuu] (0.54,-2.88) node {$A'$};
\draw [fill=uuuuuu] (-2.8357765714447334,1.6666233365371792) circle (2pt);
\draw[color=uuuuuu] (-2.68,2.06) node {$I$};
\draw [fill=uuuuuu] (-5.363463946154778,-2.6677416997147745) circle (2pt);
\draw[color=uuuuuu] (-5.22,-2.98) node {$J$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture} & \begin{center}1,5\end{center} \\ 
\hline 
\vspace{0.3cm}

Kẻ đường kính $AA'$ của đường tròn $\left( O \right)$. Khi đó tứ giác $BHCA'$ là hình bình hành $\Rightarrow \widehat{HCA'}=\widehat{HBA'}$.& \begin{center}
0,5
\end{center} \\ 
\hline 
\vspace{0.3cm}

Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $HA'$ cắt các đường thẳng $AB, AC$ lần lượt tại $J, I$. Từ các tứ giác $HICA', HBJA'$ nội tiếp suy ra $\widehat{HIA'}=\widehat{HCA'}, \widehat{HJA'}=\widehat{HBA'}$& \begin{center}
0,5
\end{center} \\ 
\hline 
Từ các đẳng thức trên ta được $\widehat{HIA'}=\widehat{HJA'}\Rightarrow A'IJ$ là tam giác cân tại $A'\Rightarrow H$ là trung điểm của $IJ$. Theo định lí Talet ta có $\frac{{KE}}{{HJ}} = \frac{{AK}}{{AH}} = \frac{{KF}}{{HI}} \Rightarrow KE = KF.$ $\square$& \begin{center}
0,5
\end{center} \\ 
\hline
\vspace{0.3cm}

\textbf{Câu 3b.} Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác $KEY$ và $KFX$ cắt nhau tại điểm $Z\left( {Z \ne K} \right)$ thuộc đường tròn $\left( O \right)$. \newline
\definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}
\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1}
\definecolor{ududff}{rgb}{0.30196078431372547,0.30196078431372547,1}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
\clip(-11.5,-6.91) rectangle (11.66,6.95);
\draw [line width=2pt] (-2.02,-0.09) circle (3.5338930374305337cm);
\draw [line width=2pt] (-3.137515100569116,3.2625453017073465)-- (-4.763919853621806,-2.316949446417698);
\draw [line width=2pt] (-4.763919853621806,-2.316949446417698)-- (0.7674148066575164,-2.2622611941537887);
\draw [line width=2pt] (0.7674148066575164,-2.2622611941537887)-- (-3.137515100569116,3.2625453017073465);
\draw [line width=2pt] (-3.0825150516361717,-2.300325413410066)-- (-3.137515100569116,3.2625453017073465);
\draw [line width=2pt] (-4.31603571825193,-0.7804517349013645)-- (0.7674148066575164,-2.2622611941537887);
\draw [line width=2pt] (-4.763919853621806,-2.316949446417698)-- (-1.0495181188969442,0.3083874648836315);
\draw [line width=2pt] (-3.1157676240512604,1.062939981421603)-- (-2.02,-0.09);
\draw [line width=2pt] (-4.032730011200347,0.19144821905613182)-- (-2.198805236902174,1.934431743787074);
\draw [line width=2pt] (-4.763919853621806,-2.316949446417698)-- (-1.9550230054032827,3.4432956273390407);
\draw [line width=2pt] (-4.595346386964459,2.3299154917370806)-- (0.7674148066575164,-2.2622611941537887);
\draw [line width=2pt] (-4.203870159023125,1.289666326758415) circle (1.1114728796880222cm);
\draw [line width=2pt] (-4.098936887762126,3.0155553292288886) circle (2.1861675364889885cm);
\draw [line width=2pt] (-3.0710099557389388,-3.4639854879559935)-- (-1.9550230054032827,3.4432956273390407);
\draw [line width=2pt] (-4.595346386964459,2.3299154917370806)-- (-3.0710099557389388,-3.4639854879559935);
\draw [line width=2pt] (-5.311425974822856,1.1964350167270064)-- (-4.032730011200347,0.19144821905613182);
\draw [line width=2pt] (-5.311425974822856,1.1964350167270064)-- (-3.1157676240512604,1.062939981421603);
\draw [line width=2pt] (-5.311425974822856,1.1964350167270064)-- (-1.9550230054032827,3.4432956273390407);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=ududff] (-2.02,-0.09) circle (2.5pt);
\draw[color=ududff] (-2.36,-0.04) node {$O$};
\draw [fill=xdxdff] (-3.137515100569116,3.2625453017073465) circle (2.5pt);
\draw[color=xdxdff] (-3.2,3.72) node {$A$};
\draw [fill=xdxdff] (-4.763919853621806,-2.316949446417698) circle (2.5pt);
\draw[color=xdxdff] (-5.04,-2.36) node {$B$};
\draw [fill=xdxdff] (0.7674148066575164,-2.2622611941537887) circle (2.5pt);
\draw[color=xdxdff] (0.96,-2.36) node {$C$};
\draw [fill=uuuuuu] (-3.0940201475334046,-1.1366653388641406) circle (2pt);
\draw[color=uuuuuu] (-3.34,-0.66) node {$H$};
\draw [fill=uuuuuu] (-3.0825150516361717,-2.300325413410066) circle (2pt);
\draw [fill=uuuuuu] (-4.31603571825193,-0.7804517349013645) circle (2pt);
\draw [fill=uuuuuu] (-3.1157676240512604,1.062939981421603) circle (2pt);
\draw[color=uuuuuu] (-2.76,1.04) node {$K$};
\draw [fill=uuuuuu] (-1.0495181188969445,0.30838746488363156) circle (2pt);
\draw [fill=uuuuuu] (-2.198805236902174,1.934431743787074) circle (2pt);
\draw[color=uuuuuu] (-1.88,2.18) node {$F$};
\draw [fill=uuuuuu] (-4.032730011200347,0.19144821905613182) circle (2pt);
\draw[color=uuuuuu] (-4.4,-0.08) node {$E$};
\draw [fill=uuuuuu] (-1.9550230054032827,3.4432956273390407) circle (2pt);
\draw[color=uuuuuu] (-1.8,3.84) node {$X$};
\draw [fill=uuuuuu] (-4.595346386964459,2.3299154917370806) circle (2pt);
\draw[color=uuuuuu] (-4.72,2.74) node {$Y$};
\draw [fill=uuuuuu] (-5.311425974822856,1.1964350167270064) circle (2pt);
\draw[color=uuuuuu] (-5.58,1.16) node {$Z$};
\draw [fill=uuuuuu] (-3.0710099557389388,-3.4639854879559935) circle (2pt);
\draw[color=uuuuuu] (-3.06,-3.68) node {$T$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}& \begin{center}
2,5
\end{center}\\
\hline
\vspace{0.3cm}

Gọi $T$ là giao điểm thứ hai của $XF$ với đường tròn $\left( O \right)$. Áp dụng định lí Pascal đảo cho lục giác $AXCTBY$ ta được $Y, E, T$ thẳng hàng.&\begin{center}
1,0
\end{center}\\
\hline
\vspace{0.3cm}

Ta có các tứ giác $ZYKE, ZXFK$ nội tiếp đường tròn suy ra $\widehat{ZYT}=\widehat{ZYE}=\widehat{ZKE}=\widehat{ZXF}=\widehat{ZXT} \Rightarrow $ tứ giác $XYZT$ nội tiếp đường tròn hay $Z$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $XYT$ hay $Z \in \left( O \right)$. $\square$&\begin{center}
1,5
\end{center}\\
\hline
\end{longtable}
\textbf{Câu 4 (4,0 điểm)}\\ 
Xét số nguyên dương $n>1$, kí hiệu $\sigma \left( n \right),\,\,d\left( n \right)$ lần lượt là tổng tất cả các ước nguyên dương của $n$, số ước nguyên dương của $n$.\\
a) Chứng minh rằng $\sigma \left( n \right) \ge n + 1 - \left( {d\left( n \right) - 2} \right)\sqrt n .$\\
b) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $\sigma \left( n \right) = d\left( n \right)\left\lceil {\sqrt n } \right\rceil$, trong đó kí hiệu $\left\lceil {\sqrt n } \right\rceil$ là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn $\sqrt{n}.$
\begin{longtable}{|p{16cm} |p{1.5cm}|}
\hline 
\textbf{Nội dung} & \textbf{Điểm}\\ 
\hline 
\vspace{0.3cm}

\textbf{Câu 4a.} Chứng minh rằng $\sigma \left( n \right) \ge n + 1 - \left( {d\left( n \right) - 2} \right)\sqrt n .$ & \begin{center}1,5
\end{center} \\ 
\hline 

\vspace{0.3cm}

Ta có $\sigma \left( n \right) = \frac{1}{2}\sum\limits_{\left. k \right|n}^{} {\left( {k + \frac{n}{k}} \right)}$ & \begin{center}0,5
\end{center} \\ 
\hline 
 \vspace{0.3cm}
 
$ = \frac{1}{2}\sum\limits_{\left. k \right|n}^{} {\left( {k + \frac{n}{k} + 2\sqrt {k \cdot \frac{n}{k}} } \right)}  - \sum\limits_{\left. k \right|n}^{} {\sqrt n }  = \frac{1}{2}\sum\limits_{\left. k \right|n}^{} {{{\left( {\sqrt k  + \sqrt {\frac{n}{k}} } \right)}^2}}  - d\left( n \right)\sqrt n$& \begin{center}
0,5
\end{center} \\ 
\hline 
$\ge \frac{1}{2}\left( {{{\left( {\sqrt 1  + \sqrt {\frac{n}{1}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt n  + \sqrt {\frac{n}{n}} } \right)}^2}} \right) - d\left( n \right)\sqrt n  = {\left( {\sqrt n  + 1} \right)^2} - d\left( n \right)\sqrt n  = n + 1 - \left( {d\left( n \right) - 2} \right)\sqrt n$. $\square$& \begin{center}
0,5
\end{center} \\ 
\hline 
\vspace{0.3cm}

\textbf{Câu 4b.} Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $\sigma \left( n \right) = d\left( n \right)\left\lceil {\sqrt n } \right\rceil$, trong đó kí hiệu $\left\lceil {\sqrt n } \right\rceil$ là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn $\sqrt{n}.$ & \begin{center}2,5
\end{center} \\ 
\hline
\vspace{0.3cm}

Ta có $\sigma \left( n \right) = \frac{1}{2}\sum\limits_{\left. k \right|n}^{} {\left( {k + \frac{n}{k}} \right)} = \frac{1}{2}\sum\limits_{\left. k \right|n}^{} {\left( {k + \frac{n}{k} - 2\sqrt {k \cdot \frac{n}{k}} } \right)}  + \sum\limits_{\left. k \right|n}^{} {\sqrt n }  = \frac{1}{2}\sum\limits_{\left. k \right|n}^{} {{{\left( {\sqrt k  - \sqrt {\frac{n}{k}} } \right)}^2}}  + d\left( n \right)\sqrt n$ & \begin{center}
1,0
\end{center}\\
\hline
\vspace{0.3cm}

$\ge \frac{1}{2}\left( {{{\left( {\sqrt 1  - \sqrt {\frac{n}{1}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt n  - \sqrt {\frac{n}{n}} } \right)}^2}} \right) + d\left( n \right)\sqrt n  = {\left( {\sqrt n  - 1} \right)^2} + d\left( n \right)\sqrt n  \Rightarrow d\left( n \right)\left\lceil {\sqrt n } \right\rceil  \ge {\left( {\sqrt n  - 1} \right)^2} + d\left( n \right)\sqrt n  \Rightarrow d\left( n \right) > d\left( n \right)\left( {\left\lceil {\sqrt n } \right\rceil  - \sqrt n } \right) \ge {\left( {\sqrt n  - 1} \right)^2}$. & \begin{center}
0,5
\end{center}\\
\hline
\vspace{0.3cm}

Ta có kết quả quen thuộc $d\left( n \right) < 2\sqrt n$ & \begin{center}
0,5
\end{center}\\
\hline
\vspace{0.3cm}

Từ các kết quả trên ta được $2\sqrt n  > {\left( {\sqrt n  - 1} \right)^2} \Leftrightarrow n - 4\sqrt n  + 1 < 0 \Rightarrow 1 < n < {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2} \Rightarrow n \in \left\{ {2;3;...;13} \right\}.$ Thử trực tiếp ta được $n \in \left\{ {3;5;6} \right\}$.$\square$& \begin{center}
0,5
\end{center}\\
\hline
\end{longtable}


\textbf{Câu 5 (4,0 điểm)}\\
Cho $m, n$ là hai số nguyên dương. Mỗi số nguyên $1,2,3,...,m$ được tô bởi một trong $n$ màu sao cho hai số phân biệt có tổng chia hết cho $4$ được tô bằng màu khác nhau.\\
a) Chứng minh rằng nếu $m=2006$ thì $n\geq 502$.\\
b) Giả sử $m=2023$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của $n$.
\begin{longtable}{|p{16cm} |p{1.5cm}|}
\hline 
\textbf{\begin{center}
Nội dung
\end{center}} & \textbf{\begin{center}
Điểm
\end{center}}\\ 
\hline 
\vspace{0.3cm}

\textbf{Câu 5a.}  Chứng minh rằng nếu $m=2006$ thì $n\geq 502$. & \begin{center}2,0\end{center} \\ 
\hline 
Xét các $502$ số chia $4$ dư $2$ không vượt quá $2006$ là $2,6,10, ..., 2006$. & \begin{center}
1,0
\end{center}\\
\hline
Ta nhận thấy tổng hai số bất kì trong các số trên đều chia hết cho $4$ suy ra cần dùng ít nhất $502$ màu để tô $502$ số này suy ra $n\geq 502$. $\square$ & \begin{center}
1,0
\end{center}\\
\hline
\vspace{0.3cm}

\textbf{Câu 5b.} Giả sử $m=2023$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của $n$. & \begin{center}2,0\end{center} \\ 
\hline 
Xét $506$ số chia $4$ dư $2$ không vượt quá $2023$ là $2, 6, 10, ..., 2022$. Ta nhận thấy hai số bất kì trong các số trên đều có tổng chia hết cho $4$ suy ra cần ít nhất $506$ màu để tô $506$ số này suy ra $n\geq 506$. Giả sử ta có $506$ màu khác nhau kí hiệu là màu $1$, màu $2$, ..., màu $506$.
 & \begin{center}
1,0
\end{center}\\
\hline
Ta sẽ thực hiện tô màu các số như sau:\newline
Các số $2, 4$  tô màu 1\newline
Các số  $6, 8$ tô màu 2\newline
Các số $10,12$  tô màu 3\newline
...\newline
Các số  $2018, 2020$ tô màu 505\newline
Số $2022$ tô màu $506$\newline
Các số $1, 5, 9, ..., 2021$ tô màu $1$\newline
Các số $3, 7, 11, ..., 2019$ tô màu $2$
.$\square$ & \begin{center}
1,0
\end{center}\\
\hline
\end{longtable}

\begin{center}
\textbf{------------------Hết------------------}
\end{center}
\textbf{\begin{center}
TRẦN NGỌC THẮNG, GV THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC, TỈNH VĨNH PHÚC\\
SĐT: 0986261141\\
Mail: thangtoancvp@vinhphuc.edu.vn
\end{center}}
\end{document}